在描述流体湍流或宇宙磁场等复杂动态系统时，数学家发现某些区域会像“引力中心”一样捕获周围的运动轨迹。最新研究揭示了这类区域存在特殊统计规律的关键条件，甚至解释了著名的洛伦兹吸引子背后的数学本质。
想象一个漩涡，它能将附近的水流持续拉入自身范围——这就是动力系统中的“吸引集”（attracting set）。研究者关注的是其中一种特殊类型：部分双曲吸引集（partially hyperbolic attracting set）。这类系统同时存在拉伸、压缩和中性方向，就像同时具备离心机和磁铁特性的复杂装置。
论文的核心问题是：何时能在这样的系统中找到“物理测度”（physical/SRB measure）？这种测度可以理解为系统在长时间运行后表现出的统计规律，类似于天气预报中“长期平均温度”的概念，但适用于更复杂的混沌运动。
研究团队发现，物理测度存在的充要条件是一种称为“非均匀截面扩张”（non-uniform sectional expansion）的几何特性。简单来说，系统在某个方向上必须存在持续的拉伸效应，即使这种拉伸不是均匀分布的。用橡皮泥比喻：如果反复拉伸橡皮泥时某些部分总是变薄（即使其他部分偶尔回缩），最终会形成特定的纹理模式——这就是物理测度描述的统计规律。
特别值得注意的是，这种扩张只需要在系统的一部分区域出现（正勒贝格测度子集），且允许存在平衡点（equilibria）的干扰。这解释了为何像洛伦兹吸引子这类包含不稳定平衡点的系统仍能表现出统计规律性。
此前类似结论仅在离散系统（如数字迭代模型）中被证实，而该研究将其推广至连续系统（如流体运动）。这类似于从研究跳棋的步数规则转向描述流水连续运动——后者显然更接近自然现象。研究者通过引入“线性庞加莱流”（Linear Poincaré Flow）技术，成功跨越了这一障碍。
在特定维度（余维数2）下，条件可以进一步放宽：不需要持续扩张，只要存在一系列时刻使系统在该方向上渐近扩张即可。这类似于要求橡皮泥在某些关键步骤被拉伸，而不需每一步都处理。
该理论为多个著名混沌模型提供了统一解释：
洛伦兹类吸引子（Lorenz-like attractor）：描述大气对流的三维混沌模型，其蝴蝶状轨迹背后的统计规律由此得到验证
罗维拉吸引子（Rovella attractor）：具有更复杂平衡点分布的变体
多维洛伦兹吸引子：高维空间中的混沌行为
这些案例中，物理测度的存在都源于系统在中心-不稳定方向（central-unstable direction）上的非均匀扩张特性。研究者还证明，这类系统至多存在有限个物理测度，且它们都是沿该方向的吉布斯态（Gibbs states）——这是统计物理中“最可能状态”在动力系统的推广。
为实现证明，团队发展了“双曲时间”（hyperbolic times）的分析工具。这类似于在混沌运动中标记出那些“规律性占优”的关键时刻，通过这些时刻的累积效应构建统计规律。配合赫尔德连续（Hölder continuity）等技术，他们精确控制了中心-不稳定方向的几何变形。
该研究为湍流、等离子体不稳定等复杂现象提供了数学框架，但仍有问题待解：例如当系统同时存在多个扩张方向时，物理测度如何相互作用？这将是未来研究的重要方向。